Докажите, что если a и b – целые числа и  b ≠ 0,  то существует единственная пара чисел q и r, для которой  a = bq + r,  0 ≤ r < |b|.

   Решение

Число x таково, что число x +  — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + также является целым.

   Решение

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь четырехугольника ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Формула Брахмагупты.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если стороны вписанного четырёхугольника равны a, b, c и d, то его площадь S равна  ,  где p – полупериметр четырёхугольника.

Подсказка

Выразите квадрат диагонали AC четырёхугольника ABCD из треугольников ABC и ADC.

Решение

  Пусть  AB = a,  BC = b,  CD = c,  AD = d  – стороны вписанного четырёхугольника ABCD. По теореме косинусов
a² + b² – 2ab cos∠B = AC² = c² + d² – 2cd cos∠D = c² + d² + 2cd cos∠B.
  Значит,  2(ab + cd) cos∠B = (a² + b² – c² – d²).
  С другой стороны  2S = 2S_ABC + 2S_ADC = ab sin∠B + cd sin∠D = (ab + cd) sin∠B.
  Следовательно,  (4S)² + (a² + b² – c² – d²)² = 4(ab + cd)²,  то есть  16S² = 4(ab + cd)² – (a² + b² – c² – d²)² = (2ab + 2cd + a² + b² – c² – d²)(2ab + 2cd – a² – b² + c² + d²) =
= ((a + b)² – (c – d)²)((c + d)² – (a – b)²) = (a + b + c – d)(a + b – c + d)(a – b + c + d)(b + c + d – a) = 16(p – d)(p – c)(p – b)(p – a),  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования