Информация о задаче

Задача 53066

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC расположены три окружности равных радиусов так, что каждая из окружностей касается двух сторон треугольника. Одна из окружностей (с центром O₁) касается двух других (с центрами O₂ и O₃ соответственно) и $\angle$ O₂O₁O₃ = 90^o. Установите, что больше: площадь круга, ограниченного окружностью с центром O₁, или пятая часть площади треугольника ABC?

Подсказка

ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение

Обозначим через R радиус окружностей. Пусть окружность с центром O₁ касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно, а окружность с центром O₂ касается стороны AB в точке P. Из условия касания и равенства окружностей следуют соотношения

O₁O₂ = MP = 2R, O₁O₃ = 2R, PO₂ = MO₁ = R,

а также параллельность сторон треугольников O₁O₂O₃ и ABC ( BC || O₁O₃ и AC || O₂O₃).

Поскольку $\angle$ O₂O₁O₃ = 90^o, то $\angle$ ABC = 90^o и треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный. Тогда

BC = AB = BM + MP + PA = R + 2R + R( $\displaystyle \sqrt{2}$ + 1) = R(4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ),

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R(4 + $\displaystyle \sqrt{2}$ )² = $\displaystyle {\frac{R^{2}(18+8\sqrt{2})}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{\frac{1}{5}S_{\Delta ABC}}{\pi R^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{18 + \sqrt{2}}{10\pi}}$ < $\displaystyle {\frac{18 + 12}{10\pi}}$ = $\displaystyle {\frac{3}{\pi}}$ < 1.

Ответ

Площадь круга.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	735