Задача 53075

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Трапеции (прочее) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность, проведённая через вершины A, B и D прямоугольной трапеции ABCD  (∠A = ∠B = 90°),  пересекает продолжение основания BC и продолжение боковой стороны CD в точках M и N соответственно, причём  CM : CB = CN : CD = 1 : 2.  Найдите отношение диагоналей BD и AC трапеции.

Подсказка

Докажите, что  BM = DN.

Решение

  BC = 2CM,  CD = 2CN,  2CM² = 2CM·BC = CN·CD = 2CN²,  значит,  CD = 2CN = 2CM.
  По условию  BD – диаметр данной окружности. Поэтому  ∠BMD = 90°.  Поскольку  CM : CD = 1 : 2,  то  ∠CDM = 30°,  AB² = DM² = 3CM²,
AC² = AB² + BC² = 7CM²,  BD² = MD² + MB² = 3CM² + 9CM² = 12CM².

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	744