|
|
 |
Условие
Прямоугольный треугольник ABC (∠A = 90°) и два квадрата BEFC и AMNC расположены так, что точки E и A лежат по разные стороны от прямой BC, а точки M и B – по разные стороны от прямой AC. Найдите расстояние между центрами квадратов, если AB = a, AC = b.
Решение
Пусть P и Q – центры квадратов BEFC и AMNC. Найдём AP.
Первый способ. Точки A и P лежат на окружности с диаметром BC. Пусть радиус этой окружности равен R. Поскольку BP = PC, то
∠BAP = ∠CAP = 45°,
Второй способ. Пусть X – проекция точки F на прямую AC, а Y – проекция точки E на прямую AB, Z – точка пересечения прямых FX и EY.
Тогда AXZY – квадрат со стороной a + b, а AP – половина его диагонали. Следовательно, AP = .
∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = 90°. По теореме Пифагора PQ² = AQ² + AP² = b²/2 + b²/2 + ab + a²/2 = b²/2 + ab + b².
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 745 |
