Задача 53084

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов 5 и 3 касаются внутренним образом. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении  3 : 1.  Найдите длину этой хорды.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей радиусов 5 и 3 соответственно, AB – данная хорда, C – её точка касания с меньшей окружностью  (AC : BC = 1 : 3),  P – проекция точки O₁ на радиус O₂C меньшей окружности.
  Если  AC = x ,  то  BC = 3x.  Опустим перпендикуляр O₁K на хорду AB. Тогда  AK = KB = 2x,  CK = x,  O₁P = CK = x,  O₁O₂ = 2,  O₂C = 3,
O₁K² = O₁B² – KB² = 25 – 4x².
  По теореме Пифагора     или     откуда  x² = 4.  Следовательно,  AB = 4x = 8.

Ответ

8.

Замечания

Заметим, что  PC = O₁K = 3 = O₂C,  то есть точка P совпадает с O₂ (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	753