Задача 53085

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов 5 и 4 касаются внешним образом. Прямая, касающаяся меньшей окружности в точке A, пересекает большую в точках B и C, причём
AB = BC.  Найдите AC.

Решение

  Пусть окружность радиуса 4 с центром O₁ и окружность радиуса 5 с центром O₂ касаются внешним образом в точке D (рис. слева). Тогда
O₁O₂ = O₁D + O₂D = 9.
  Опустим перпендикуляры O₂M на хорду BC и O₁F на прямую O₂M. Тогда AO₁FM – прямоугольник, поэтому  MF = 4  и  O₁F = AM.
  Пусть  BM = MC = x.  Тогда  AB = BC = 2x,  AM = 3x.  По теореме Пифагора   O₂M² = 25 – x²,  O₁F² + O₂F² = 81,  или     Отсюда  x² = 9.  Следовательно,  AC = 4x = 12.

Ответ

12.

Замечания

Заметим, что  O₂M² = 25 – 9 = 16 = O₂F²,  то есть точка F совпадает с O₂ (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	754