Задача 53086

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Средняя линия трапеции ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов   и   пересекаются в точке A. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружности в точках B и C так, что  AB = AC  (точка B не совпадает с C). Найдите AB.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры меньшей и большей окружностей соответственно. Опустим перпендикуляры O₁M и O₂N на прямую BC и обозначим
AB = AC = 2x,  O₁M = a,  O₂N = b.  Тогда  b² – a² = (5 – x²) – (2 – x²) = 3,  O₁M² = 2 – x²,  O₂N² = 5 – x².
  Средняя линия трапеции O₁MNOO₂ равна  ½ (b + a).  С другой стороны, она является медианой треугольника O₁AO₂, и поэтому     (см. задачу 55267).
  Следовательно,  2x² = (2 – a²) + (5 – b²) = 7 – a² – b²,  9 = (b – a)² + 4x² = (b – a)² + 14 – 2a² – 2b² = 14 – (b + a)²,  откуда  (b + a)² = 5,
(b – a)² = ^{(b²–a²)²}/_(b+a)² = ⁹/₅,  a² + b² = ½ ((b + a)² + (b – a)²) = ¹⁷/₅,  x² = ½ (7 – a² – b²) = ⁹/₅.  Следовательно,  AB = 2x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	755