ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53087
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов 1 и пересекаются в точке A. Расстояние между центрами окружностей равно 2. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке B и делится этой точкой пополам. Найдите эту хорду.


Подсказка

Через центры окружностей проведите прямые, перпендикулярные хорде AC.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры меньшей и большей окружностей соответственно, K – проекция точки O1 на прямую O2B, P – проекция точки O1 на прямую AC, F – точка пересечения луча O2K с меньшей окружностью. Тогда P – середина AB, а K – середина BF. Обозначим  AP = x.  Тогда  AC = 4x.  Найдём x.

  Первый способ. O1K = PB = x,  KB² = O1B² – O1K² = 1 – x²,  O2B² = O2A² – AB² = 2 – 4x².   По теореме Пифагора    откуда  x² = 7/32.

  Второй способ. Из равенства треугольников APO1 и O1KF (по катету и гипотенузе) следует, что точка O1 лежит на прямой AF. В треугольнике AO2F нам известны две стороны и медиана O2O1. По формуле из задачи 55267    По формуле Герона   ,   откуда  


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 756

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .