Задача 53090

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность K, центр которой лежит на описанной окружности треугольника ABC. Окружность K пересекает сторону AB в точке M. Найдите угол BAC, если  AM : AB = 2 : 7,  а  ∠B = arcsin ⁴/₅.

Решение

  Пусть Q – центр окружности K,  AB = 7,  AM = 2,  MN и CK – высоты треугольника AMC. Тогда  MN = 4,  BN = 3,
∠AMC = ½ ∠AQC = ½ (180° – ∠B) = 90° – ½ ∠B.
  Поскольку  QA = QC,  то BQ – биссектриса угла B. Поэтому  ∠QBM = ½ ∠B.  Следовательно,  MC ⊥ BQ.  Поэтому треугольник MBC – равнобедренный,  BM = BC = 5.  Значит,  CK= 4 = AB – BK = AK.
  Следовательно,  ∠A = ∠ACK = 45°.

Ответ

45°.

Замечания

Ср. с задачей 53089.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	759