Задача 53093

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC ( AD > BC ) описана около окружности, которая касается стороны CD в точке M . Отрезок AM пересекает окружность в точке N . Найдите отношение AD к BC , если AN:NM = k .

Решение

Обозначим AD = a , BC = b , MN = x . Пусть Q и F — точки касания окружности со сторонами BC и AB соответственно (рис.1). Тогда по теореме о касательной и секущей

AF2 = AM· AN, или = k(k + 1)x2.
Продолжим AM до пересечения с прямой BC в точке P . Из подобия треугольников CPM и DAM следует, что = = 2 . Поэтому CP = 2CM = 2CQ = b .
По теореме о касательной и секущей
PQ2 = PN· PM, или = ( + x)·
(т.к. PM = · AM ). Разделив почленно это равенство на доказанное ранее, получим, что 9bk = b(k + 1) + a . Отсюда находим, что = 8k-1 .


Обозначим AD = a , BC = b , MN = x (рис.2). Пусть F и L — точки касания окружности со сторонами AB и AD соответственно. Тогда MF = , AL= .
Докажем, что прямая NF делит отрезок AL пополам. Действительно, пусть прямые NF и AD пересекаются в точке K . Из параллельности прямых FM и AD и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
NAK= FMN = AFK,
значит, треугольники AFK и NAK подобны по двум углам, поэтому = , откуда KA2=KF· KN . С другой стороны, по теореме о касательной и секущей KL2=KF· KN . Следовательно, KA=KL , что и требовалось доказать.
Из подобия треугольников ANK и MNF следует, что = , или
=k =k +1=8k =8k-1.

Ответ

8k-1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	762