Задача 53101

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD перпендикулярны и являются диаметрами двух равных касающихся окружностей радиуса r.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если  BC : AD = k : 1.

Решение

  Пусть M – точка пересечения прямых AB и CD, O₁ и O₂ – центры данных окружностей (середины AB и CD). Рассмотрим случай  k > 1,  точки B и C принадлежат отрезкам AM и DM.
  Обозначим  MO₁ = x,  MO₂ = y.  Тогда  x² + y² = 4r²,  (x + r)² + (y + r)² = k²((x – r)² + (y – r)²),  то есть  2(1 + k²)(x + y) = (k² – 1)(x² + y² + 2r²) = 6r²(k² – 1).   Следовательно,  2S_ABCD = 2S_AMD – 2S_MBC = (x + r)(y + r) – (x – r)(y – r) = 2(x + y)r = ^{6r²(k²–1)}/_1+k².

  Случай  k < 1  разбирается аналогично.

Ответ

3r² ^|1–k²|/_1+k².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	770