Информация о задаче

Задача 53103

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около треугольника ABC описана окружность. Диаметр AD пересекает сторону BC в точке E, при этом AE = AC и BE : CE = m. Найдите отношение DE к AE.

Подсказка

Выразите косинус угла BCA из равнобедренного треугольника EAC и прямоугольного треугольника ABD.

Решение

Обозначим

EC = a, AE = x, DE = y, $\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку AE = AC, то

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \alpha$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ BED = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BDA = $\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle \alpha$

(вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB). Следовательно, треугольник BED — равнобедренный и BD = BE = ma. Поскольку AD — диаметр, то $\angle$ ABD = 90^o.

Из треугольников AEC и ABD находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a}{2x}}$ , cos $\displaystyle \angle$ BDA = cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{ma}{x+y}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{a}{2x}}$ = $\displaystyle {\frac{ma}{x+y}}$ , $\displaystyle {\frac{y}{x}}$ = 2m - 1.

Ответ

${\frac{2}{m+1}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	772