Задача 53105

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписан в окружность. Диаметр AD пересекает сторону BC в точке E, при этом DE : EA = k. Найдите отношение CE к BC.

Подсказка

Если O - центр окружности, то BO - биссектриса треугольника ABE.

Решение

Обозначим CE = x, BE = y, R - радиус окружности. Тогда AB = = x + y.

По условию DE/AE = k и DE + AE = 2R. Следовательно, AE = = 2R/(1 + k).

Пусть O - центр окружности. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то BO - биссектриса треугольника ABE. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

AB/BE = AO/OE,или(x + y)/y = R/(2R/(1 + k) - R).

Отсюда находим, что

x/y = 2k/(1 - k)иCE/BC = 2k/(1 + k).

Ответ

2k/(1 + k).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	774