Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

AB — диаметр окружности, BC и CDA — касательная и секущая. Найдите отношение CD : DA, если BC равно радиусу окружности.

   Решение

В трапеции ABCD основание  AB = a,  основание  CD = b  (a < b).  Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD основание  AB = a,  основание  CD = b  (a < b).  Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.

Решение

  Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠DAC = ∠ABC.
  Поскольку прямые AB и CD параллельны,  ∠DCA = ∠BAC.  Следовательно, треугольники ADC и BCA подобны, поэтому  AB : AC = AC : AD.  Отсюда
AC² = AB·CD = ab.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования