ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53122
Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.


Подсказка

Продолжите биссектрису треугольника до пересечения с описанной окружностью и рассмотрите подобные треугольники.


Решение

  Пусть M – точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому  CD : AC = BC : CM,  или  CD(CD + DM) = AC·BCCD² + CD·DM = AC·BC.
  Следовательно,  CD² = AC·BC – CD·DM = AC·BC – AD·BD  (мы использовали теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 791

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .