Информация о задаче

Задача 53125

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Из центра O большей окружности проведён радиус OB, касающийся меньшей окружности в точке C. Найдите $\angle$ BAC.

Подсказка

Выразите искомый угол через угол AOB.

Решение

Обозначим $\angle$ AOB = $\alpha$ . Пусть Q — центр меньшей окружности. Поскольку треугольник AOB — равнобедренный, то

$\displaystyle \angle$ OAB = $\displaystyle \angle$ OBA = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поскольку треугольник OQC — прямоугольный, то

$\displaystyle \angle$ OQC = 90^o - $\displaystyle \alpha$ .

Но OQC — внешний угол равнобедренного треугольника AQC, поэтому

$\displaystyle \angle$ QAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ OQC = 45^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ OAB - $\displaystyle \angle$ QAC = 45^o.

Ответ

45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	794