ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53134
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
Название задачи: Задача о бабочке.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две точки B и C так, что
AB = AC.  Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что  AR = AS.


Решение 1

  Пусть P', Q', M' и R'– точки, симметричные точкам P, Q, M и R относительно диаметра KL окружности, проходящего через точку A, E и E' – точки пересечения прямой l и окружности. Нужно доказать, что точки R' и S совпадают. Мы покажем, что и точка R', и точка S лежат на окружности, проходящей через точки C, N и P'. Такая окружность существует только одна (случай, когда какие-либо две из точек C, N и P' совпадают, очевиден), и она пересекает прямую l, кроме точки C, ещё только в одной точке.

  Воспользуемся ориентированными углами.
  ∠(CS, NS) = ∠(Q'Q, NQ) = ∠(Q'P, NP') = ∠(CP', NP'),  значит, точки C, N, P', S лежат на одной окружности.
  ∠(CR', P'R') = ∠(MM', P'M') = ∠(MN, P'N) = ∠(CN, P'N),  значит, точки C, N, P', R' лежат на одной окружности.
  (Мы пользовались тем, что  Q'Q || MM' || l.  "Вырожденные" случаи, когда какие-нибудь две точки, определяющие в этих равенствах прямую, совпадают, очевидны.)


Решение 2

  Переформулируем задачу.
  Пусть P и N – две различные точки окружности с центром O, A– основание перпендикуляра, опущенного из точки O на данную прямую l, и  f – отображение, которое каждой точке X прямой l ставит в соответствие точку  f(X) этой же прямой по следующему правилу: если X' – точка пересечения прямой PX с окружностью, X'' – точка пересечения прямой NX' с l, то  f(X) – точка, симметричная X'' относительно A. Тогда отображение  :f совпадает с обратным к нему, то есть  f(f(X)) = X  для всех X (см. рис.).

  Проективную прямую, дополненную бесконечно удалённой точкой, естественно представлять себе как окружность (когда точка X пробегает прямую, то X' проходит полный оборот по окружности).
  Если точка X движется в одну сторону, то  Y = f(X) – в противоположную, поэтому отображение  f имеет две неподвижные точки Z1 и Z2:  f(Z1) = Z1,
f(Z2) = Z2.  (Это верно для любого непрерывного взаимно однозначного отображения  f окружности на себя, меняющего направление обхода.)
  Если точка L – бесконечно удалённая точка прямой l, то, как нетрудно проверить, f(f(L)) = L,  причём  f(L) ≠ L.  Отображение  Xf(f(X))  проективное и имеет три неподвижные точки: Z1, Z2 и L, поэтому  f(f(X)) = X  для всех X.

Замечания

Данная задача – обобщение теоремы о бабочке (см. задачу 52460).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 803
журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М84

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .