Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей с радиусами R и r соответственно, A и B – наименее удалённые друг от друга их точки пересечения с прямой O₁O₂. Тогда
AB = R + r – a.
  Докажем, что окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, удовлетворяет условию. Рассмотрим любую другую окружность, касающуюся изнутри двух данных. Пусть O – её центр, x – радиус, M и N – точки касания с первой и второй окружностью соответственно. Тогда  O₁O = R – x,  O₂O = r – x,
O₁O + O₂O > O₁O₂,  R – x + r – x > a.
  Следовательно,  2x < R + r - a = AB.

Ответ

^R+r–a/₂.

Источники и прецеденты использования