Задача 53141

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Хорды AB и CD пересекаются в точке E внутри окружности. Пусть M – внутренняя точка отрезка BE. Касательная в точке E к описанной окружности треугольника DEM, пересекает прямые BC и AC в точках F и G соответственно. Пусть   ^AM/_AB = t.  Найдите  ^BG/_EF.

Подсказка

Треугольник CEF подобен треугольнику AMD, а треугольник CGE – треугольнику BDM.

Решение

Пусть точка E лежит между точками G и F. Поскольку  ∠CEF = ∠DEG = ∠EMD,  ∠ECF = ∠MAD,  то треугольники CEF и AMD подобны. Поэтому
EF : DM = CE : AM.  С другой стороны, так как  ∠ECG = ∠MBD,  ∠CGE = ∠CEF – GCE = ∠EMD – ∠MBD = ∠BDM,  то треугольники CGE и BDM также подобны. Следовательно,  EG : DM = CE : MB.  Отсюда  ^EG/_EF = ^AM/_MB = ^t/_1–t.

Ответ

^t/_1–t.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	835