Информация о задаче

Задача 53146

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две равные окружности, касающиеся друг друга. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину D с серединой E стороны AB, а центр второй окружности — на отрезке CE. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Подсказка

ABCD — прямоугольник.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры первой и второй окружностей соответственно, P и Q — точки касания окружностей со стороной CD, r — радиус окружностей. Поскольку прямые AB и CD — общие внешние касательные к двум равным окружностям, то AB || CD.

Поскольку DE и CE — биссектрисы углов D и C, то треугольники DAE и CBE — равнобедренные. Поэтому AD = AE = BE = BC, т.е. ABCD -- равнобедренная трапеция или прямоугольник. В любом случае DP = CQ.

Поскольку PQ = O₁O₂ = 2r и CD = 2O₁O₂ = 4r ( O₁O₂ — средняя линия треугольника DEC), то DP = CQ = r. Поэтому DPO₁ и CQO₂ — равнобедренные прямоугольные треугольники. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ PDE = $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ QCE = $\displaystyle \angle$ BCE = 45^o,

$\displaystyle \angle$ D = $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle \angle$ A = 90^o.

Поэтому ABCD — прямоугольник. Тогда tg $\angle$ CAB = ${\frac{BC}{AB}}$ = ${\frac{1}{2}}$ и, если $\varphi$ — угол между диагоналями прямоугольника ABCD, то

$\displaystyle \varphi$ = 2 $\displaystyle \angle$ CAB, sin $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Ответ

${\frac{4}{5}}$ .

Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	840