ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53147
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите AC.


Подсказка

Докажите, что ABCD — прямоугольник.


Решение

Обозначим AD = a, BC = b. Поскольку AF и CE — биссектрисы углов A и C, то треугольники ADF и CBE — равнобедренные. Поэтому

CD = 2DF = 2AD = 2aAB = 2BE = 2BC = 2b.

Пусть O1 и O2 — центры соответственно первой и второй окружностей. Тогда O1O2 — средняя линия трапеции (или параллелограмма) AFCE, поэтому

2r = O1O2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(CF + AE) = $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$.

С другой стороны, 2r $ \leqslant$ a и 2r $ \leqslant$ b. Поэтому

2r $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$.

Значит, a = 2r и b = 2r, Тогда ABCD — прямоугольник со сторонами 2r, 2r, 4r, 4r. Поэтому

AC2 = BC2 + AB2 = 4r2 + 16r2 = 20r2.

Следовательно, AC = 2r$ \sqrt{5}$.


Ответ

2r$ \sqrt{5}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 841

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .