Информация о задаче

Задача 53147

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, а вторая окружность касается сторон AB, BC и CD. Найдите AC.

Подсказка

Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Решение

Обозначим AD = a, BC = b. Поскольку AF и CE — биссектрисы углов A и C, то треугольники ADF и CBE — равнобедренные. Поэтому

CD = 2DF = 2AD = 2a, AB = 2BE = 2BC = 2b.

Пусть O₁ и O₂ — центры соответственно первой и второй окружностей. Тогда O₁O₂ — средняя линия трапеции (или параллелограмма) AFCE, поэтому

2r = O₁O₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (CF + AE) = $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ .

С другой стороны, 2r $\leqslant$ a и 2r $\leqslant$ b. Поэтому

2r $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ .

Значит, a = 2r и b = 2r, Тогда ABCD — прямоугольник со сторонами 2r, 2r, 4r, 4r. Поэтому

AC² = BC² + AB² = 4r² + 16r² = 20r².

Следовательно, AC = 2r $\sqrt{5}$ .

Ответ

2r $\sqrt{5}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	841