Задача 53148

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Точка E стороны BC и точка F стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD расположены так, что BE = 2EC, AF = 2FD. На отрезке AE находится центр окружности радиуса r, касающейся сторон AB, BC и CD. На отрезке BF находится центр окружности такого же радиуса r, касающейся сторон AB, AD и CD. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, зная, что указанные окружности внешним образом касаются друг друга.

Подсказка

ABCD — прямоугольник.

Решение

Заметим, что AB || CD (общие внешние касательные к двум равным окружностям). Пусть O₁ и O₂ — центры первой и второй окружностей соответственно. Обозначим AB = 2x.

Продолжим AE и BF до пересечения с прямой CD в точках P и Q соответственно. Из подобия треугольников PCE и ABE находим, что PC = AB = x. Аналогично DQ = x.

Пусть биссектриса угла BCD пересекает сторону AB в точке M. Тогда треугольник MO₁A равен треугольнику CO₁P. Поэтому AM = CP = x и M — середина AB. Следовательно, BM = x.

Если N — точка пересечения биссектрисы угла ADC со стороной AB, то аналогично докажем, что N — середина AB. Следовательно, точки M и T совпадают.

Поскольку O₁O₂ — средняя линия треугольника DMC, то

CD = 2O₁O₂ = 4r.

ABCD — либо равнобедренная трапеция, либо прямоугольник. В первом из этих случаев x > 2r. Поэтому AB = 2x > 4r. Но тогда CD < 4r, что невозможно. Значит, ABCD — прямоугольник со сторонами 2r, 2r, 4r, 4r, и его площадь равна 8r².

Ответ

8r².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	842