Информация о задаче

Задача 53149

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD находится центр окружности радиуса r, касающейся сторон AB, AD и BC. На диагонали BD находится центр окружности такого же радиуса r, касающейся сторон BC, CD и AD. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, зная, что указанные окружности касаются друг друга внешним образом.

Подсказка

ABCD — равнобедренная трапеция.

Решение

Заметим, что AD || BC (общие внешние касательные к двум равным окружностям). Пусть O₁ и O₂ — центры первой и второй окружностей соответственно.

Поскольку AC и DB — биссектрисы углов A и D трапеции ABCD, то треугольники ABC и BCD — равнобедренные. Поэтому трапеция ABCD — равнобедренная.

Пусть BK — высота трапеции. Тогда

2r = O₁O₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ | AD - BC| = AK = BK.

Поэтому $\angle$ BAD = $\angle$ CDA = 45^o. Следовательно,

BC = AB = BK $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2r $\displaystyle \sqrt{2}$ , AD = BC + 2AK = 2r $\displaystyle \sqrt{2}$ + 4r,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)BK = 4r²(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Ответ

4( $\sqrt{2}$ + 1)r².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	843