Задача 53162

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Около треугольника AMB описана окружность, центр которой удалён от стороны AM на расстояние 10. Продолжение стороны AM за вершину M отсекает от касательной к окружности, проведённой через вершину B , отрезок CB , равный 29. Найдите площадь треугольника CMB , если известно, что угол ACB равен arctg .

Решение

Пусть O — центр данной окружности, K — середина стороны AM , P — проекция точки B на прямую AC , F — точка пересечения луча BO с прямой AC .
Предположим, что точка O находится между точками B и F . Тогда

BP = CB sin C = 29· = 20.
Поскольку OK = 10 , то точка O — середина BF , т.е. точка F лежит на окружности. Значит, точки A и F совпадают и AB — диаметр окружности. Следовательно, точки P и M также совпадают и
S_{Δ CMB} = CM· MB = 10 = 210.
Аналогично рассматривается случай, когда точка F лежит между точками O и B .

Ответ

210.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	856