Информация о задаче

Задача 53163

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около треугольника APK описана окружность радиуса 1. Продолжение стороны AP за вершину P отсекает от касательной к окружности, проведённой через вершину K, отрезок BK, равный 7. Найдите площадь треугольника APK, если известно, что угол ABK равен arctg ${\frac{2}{7}}$ .

Подсказка

Докажите, что треугольник APK — прямоугольный.

Решение

Пусть O — центр данной окружности. Продолжим KO до вторичного пересечения с окружностью в точке M. Из прямоугольного треугольника BKM находим, что

tg $\displaystyle \angle$ MBK = $\displaystyle {\frac{KM}{BK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$ .

Следовательно, $\angle$ MBK = $\angle$ ABK и треугольник APK — прямоугольный. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AKP = $\displaystyle \angle$ ABK, AP = AK sin $\displaystyle \angle$ AKP = 2^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{53}}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{53}}}$ ,

PK = BK sin $\displaystyle \angle$ ABK = 7^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{53}}}$ = $\displaystyle {\frac{14}{\sqrt{53}}}$ .

Следовательно,

S_APK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AP^.PK = $\displaystyle {\textstyle\frac{28}{53}}$ .

Ответ

${\frac{28}{53}}$ .

Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	857