Информация о задаче

Задача 53191

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC с углом C, равным 30^o, высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника AMB, если расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC соответственно равны $\sqrt{2}$ и ${\frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Подсказка

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, P — проекция точки O на BC. Докажите, что AM = 2OP.

Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, P и Q — проекции точки O на стороны BC и AC. Известно, что расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до проивоположной стороны треугольника. Поэтому

BM = 2OQ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ , AM = 2OP = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поскольку $\angle$ AMB = 180^o - 30^o = 150^o, то

S_AMB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.MB sin 150^o = $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{3}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{6}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	886