Информация о задаче

Задача 53193

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $\alpha$ вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Найдите радиус второй окружности.

Подсказка

Пусть O и Q — радиусы первой и второй окружностей, F — точка касания первой окружности с боковой стороной данного треугольника, P — проекция точки Q на OF. Рассмотрите треугольник OPQ.

Решение

Пусть О — центр окружности радиуса r, вписанной в треугольник ABC (AB = BC, AB = a, $\angle$ A = $\angle$ B = $\alpha$ ), M и F — её точки касания со сторонами AB и AC, Q — центр второй окружности, x — её радиус. Из прямоугольного треугольника ОМА находим, что

r = AMtg $\displaystyle \angle$ OAM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ atg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Пусть P — проекция точки Q на OF. Из прямоугольного треугольника QPO находим, что

OP = OQ cos $\displaystyle \angle$ POQ, или r - x = (r + x) $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

x = $\displaystyle {\frac{r(1 - \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}a{\rm tg }\frac{\alpha}{2}\cdot 2\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{2\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ atg³ $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ atg³ ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	888