Задача 53205

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. ∠A = α,  биссектриса угла B пересекает катет AC в точке K. На стороне BC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите угол AMK.

Подсказка

Пусть F и P – проекции точки K на AB и CM. Тогда  KF = KC  и  KP = FM.

Решение

Опустим перпендикуляры KF и KP на прямые AB и CM соответственно. Тогда  tg∠AKM = ^KF/_FM = ^KC/_KP = ¹/_{cos α}.

Ответ

¹/_{cos α}.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	900