Задача 53208

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция ABCD, у которой угол BAD – прямой. На стороне AB как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагональ BD в точке M. Известно, что  AB = 3,  AD = 4,  BC = 1.  Найдите угол CAM.

Подсказка

Рассмотрите прямоугольный треугольник AMK, где K – точка пересечения диагоналей трапеции.

Решение

  Заметим, что  ВD = 5,  AС² = 10,  а  ∠AMB = 90°  (он опирается на диаметр).
  Поскольку  AM·BD = AB·AD,  то  AM = AB·^AD/_BD = ¹²/₅.
  Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции. Тогда  ^AK/_KC = ^AD/_BD = 4.  Поэтому  AK = ⁴/₅ AC = .
  Из прямоугольного треугольника AMK находим, что  cos∠KAM = .  Следовательно,  sin∠CAM = sin∠KAM = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	903