Задача 53209

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены медианы AM и BP. Известно, что  ∠APB = ∠BMA,  cos∠ACB = 0,8,  BP = 1.  Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

  Точки A, B, M и P лежат на одной окружности, поэтому  CM·CB = CP·CA,  или  2CM² = 2CP².  Следовательно,  CM = CP,  CA = CB,  то есть треугольник ABC равнобедренный.
  Пусть  MC = x.  По теореме косинусов  1 = BP² = x² + 4x² – 2x·2x·⅘,  то есть  x² = ⁵/₉.  Значит,  S_ABC = ½ AC·BC sin∠C = ½ (2x)²·⅗ = ⁶/₅ x² = ⅔.

Ответ

⅔.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	904