Задача 53210

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC биссектриса угла при вершине A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла при вершине B пересекает сторону AC в точке P. Биссектрисы AM и BP пересекаются в точке O. Известно, что треугольник BOM подобен треугольнику AOP,  BO = (1 + )OP,  BC = 1.  Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Решение

  Из подобия треугольников BOM и AOP следует равенство углов MBP и MAP. Поэтому  ∠B = 2∠MBP = 2∠MAP = ∠A.  Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный. Значит,  MP || AB.
  Пусть CK – высота треугольника ABC. По свойству биссектрисы  AB : AC = BM : MC.  Поскольку     то   ^BM/_MC = .  Следовательно,     CK² = AC² – AK² = ½, 

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	905