Задача 53249

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности разных радиусов касаются в точке C одной прямой и расположены по одну сторону от неё. Отрезок CD – диаметр большей окружности. Из точки D проведены две прямые, касающиеся меньшей окружности в точках A и B. Прямая, проходящая через точки C и A, образует с общей касательной к окружностям в точке C угол 75° и пересекает большую окружность в точке M. Известно, что  AM = .  Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных DA, DB и дугой ACB меньшей окружности.

Решение

  Пусть r и R – радиусы окружностей  (r < R),  O₁ и O₂ – их центры, E – вторая точка пересечения прямой CD с меньшей окружностью, P – проекция точки E на MD. Заметим, что  ∠AEC = ∠MDC = 75°.
  Поскольку ∠CAE = ∠CMD = 90°,  то AMPE – прямоугольник. Поэтому  PE = MA = = .
  Из прямоугольного треугольника EPD находим, что   PE = ED sin 75°,  или   =   (см. задачу 61207 а). Поэтому  R – r = 2 – .
  В прямоугольном треугольнике O₂AD   AO₂ = r,  O₂D = 2R – r,  ∠AO₂D = 2∠ACO₂ = 30°.  Поэтому    откуда  r = 2.
  Искомая площадь равна сумме площадей сектора O₂ACB  ()  и четырёхугольника O₂ADB  (O₂A·AD),  то есть   + = 2(5π + 4).

Ответ

2(5π + 4).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	944