Задача 53251

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки K, L, M делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении  AK : KB = CL : LB = CM : MD = 1 : 2.  Радиус описанной окружности треугольника KLM равен ⁵/₂,  KL = 4,  LM = 3.  Какова площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что  KM < KL?

Подсказка

Найдите sin∠KLM.

Решение

  Обозначим  ∠KLM = α,  MKL = β,  R – радиус описанной окружности треугольника KLM. Тогда  sin α = ^KL/_2R = ⁴/₅,  sin β = ^LM/_2R = ³/₅.
  Пусть α – острый угол. Тогда и β – острый  (LM < KL).  Поэтому  cos α = ³/₅,  cos β = ⁴/₅,  sin∠KLM = sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β = 1,  что невозможно: в этом случае KM – гипотенуза прямоугольного треугольника KLM, а по условию  KM < KL.  Следовательно, α – тупой угол. Тогда  cos α = – ³/₅,  cos β = ⁴/₅,
sin(α + β) = ⁷/₂₅.
  Треугольник ABC подобен треугольнику KBL с коэффициентом ³/₂. Поэтому  AC = 6.  Треугольник BCD подобен треугольнику LCM с коэффициентом 3. Поэтому   BD = 9.  Синус угла между диагоналями AC и BD равен sin(α + β) = ⁷/₂₅.
  Следовательно,  S_ABCD = ½ AC·BD sin(α + β) = ¹⁸⁹/₂₅.

Ответ

¹⁸⁹/₂₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	946