Задача 53255

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC , пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F . Угол AEC в 5 раз больше угла BAF , а угол ABC равен 72^o . Найдите радиус окружности, если AC = 6 .

Решение

Обозначим BAF = α . Тогда AEC = 5α . Вписанные углы ECF и EAF опираются на одну и ту же дугу, поэтому BCE = ECF = EAF = BAF=α .
По теореме о внешнем угле треугольника ABC+ BCE = AEC , или 72^o+α =5α , откуда находим, что α = · 72^o=18^o , значит, AEC = 5α = 5· 18^o=90^o .
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника AEC , — середина гипотенузы AC , поэтому радиус окружности равен половине AC , т.е. 3.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	950