Информация о задаче

Задача 53268

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка O делит отрезок AB на отрезки OA = 6 и OB = 4. С центром в точке O проведена окружность, из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, если OM = 12.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольникам AMO и BMO.

Решение

Поскольку MO — биссектриса угла AMB, то

$\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AO}{OB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Обозначим AM = 3x, BM = 2x, $\angle$ AMB = 2 $\varphi$ . По теореме косинусов из треугольников AMO и BMO находим, что

AO² = AM² + MO² - 2AM^.MO cos $\displaystyle \varphi$ ,

BO² = MB² + MO² - 2MB^.MO cos $\displaystyle \varphi$ ,

или

36 = 9x² + 144 - 72x cos $\displaystyle \varphi$ , 16 = 4x² + 144 - 48x cos $\displaystyle \varphi$ ,

или

24x cos $\displaystyle \varphi$ = 3x² + 36, 24x cos $\displaystyle \varphi$ = 2x² + 64.

Вычитая почленно полученные равенства, получим, что x² = 28. Тогда

cos $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{5}{2\sqrt{7}}}$ , sin $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}$ .

Пусть D — точка касания данной окружности со стороной BM. Тогда

OD = OM sin $\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}$ = $\displaystyle {\frac{6\sqrt{21}}{7}}$ .

Ответ

${\frac{6\sqrt{21}}{7}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	963