Информация о задаче

Задача 53273

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке D и сторону BC в точке E. Найдите угол CDB, если AD = 5, AC = 2 $\sqrt{7}$ , BE = 4, BD : CE = 3 : 2.

Подсказка

Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Решение

Обозначим BD = 3x, CE = 2x.

Поскольку BD^.AB = BE^.BC, то 3x^.(3x + 5) = 4(2x + 4). Отсюда находим, что x = 1. Следовательно,

AB = AD + DB = 8, BC = BE + EC = 6.

Поскольку AC² + BC² = 28 + 36 = 64 = AB², то треугольник ABC -- прямоугольный, cos $\angle$ BAC = ${\frac{AC}{AB}}$ = ${\frac{\sqrt{7}}{4}}$ .

По теореме косинусов из треугольника ADC находим, что

DC² = AD² + AC² - 2AD^.AC cos $\displaystyle \angle$ DAC =

= 25 + 28 - 2^.5^.2 $\displaystyle \sqrt{7}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{4}}$ = 18.

По теореме косинусов из треугольника BDC находим, что

cos $\displaystyle \angle$ BDC = $\displaystyle {\frac{BD^{2} + DC^{2} - BC^{2}}{2BD\cdot DC}}$ = $\displaystyle {\frac{9 + 18 - 36}{2\cdot 3\cdot 3\sqrt{2}}}$ = - $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{4}}$ .

Ответ

arccos $\left(\vphantom{-\frac{\sqrt{2}}{4}}\right.$ - ${\frac{\sqrt{2}}{4}}$ $\left.\vphantom{-\frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	968