Задача 53281

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из точки A, находящейся на расстоянии 5 от центра окружности радиуса 3, проведены две секущие AKC и ALB, угол между которыми равен 30^o (K, C, L, B — точки пересечения секущих с окружностью). Найдите площадь треугольника AKL, если площадь треугольника ABC равна 10.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Проведём из точки A касательную к данной окружности. Пусть M -- точка касания, O — центр окружности.

Из прямоугольного треугольника OMA находим, что

AM² = AO² - OM² = 25 - 9 = 16.

Тогда

AK ^. AC = AL ^. AB = AM² = 16.

Поэтому

S_AKL = AK ^. AL sin 30^o = AK ^. AL =

= ^{. .} = = = = .

Проведём из точки A касательную к данной окружности. Пусть M -- точка касания, O — центр окружности.

Из прямоугольного треугольника OMA находим, что

AM² = AO² - OM² = 25 - 9 = 16.

Тогда

AK ^. AC = AL ^. AB = AM² = 16.

Поэтому

S_AKL = AK ^. AL sin 30^o = AK ^. AL =

= ^{. .} = = = = .

Проведём из точки A касательную к данной окружности. Пусть M -- точка касания, O — центр окружности.

Из прямоугольного треугольника OMA находим, что

AM² = AO² - OM² = 25 - 9 = 16.

Тогда

AK ^. AC = AL ^. AB = AM² = 16.

Поэтому

S_AKL = AK ^. AL sin 30^o = AK ^. AL =

= ^{. .} = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	976