Информация о задаче

Задача 53292

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 60^o, а радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен 2 $\sqrt{3}$ . На стороне AB взята точка D так, что AD = 2DB и при этом CD = 2 $\sqrt{2}$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

С помощью теоремы об отрезках пересекающихся хорд найдите OD (O — центр окружности). Треугольник ODC — прямоугольный.

Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, R = 2 $\sqrt{3}$ — её радиус. Тогда

AB = 2R sin $\displaystyle \angle$ C = 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 6.

Поэтому AD = 4, BD = 2.

Поскольку (R - OD)(R + OD) = AD^.DB, то

OD² = R² - AD^.DB = 12 - 8 = 4.

Поэтому OD = 2.

Поскольку OD² + DC² = OC², то треугольник ODC — прямоугольный ( $\angle$ ODC = 90^o). Поскольку треугольник ODB — равнобедренный, то

$\displaystyle \angle$ DOB = $\displaystyle \angle$ OBD = 30^o.

Поэтому $\angle$ CDB = 30^o.

Пусть CM — высота треугольника ABC. Тогда CM = ${\frac{1}{2}}$ CD = $\sqrt{2}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CM = $\displaystyle {\frac{6\sqrt{2}}{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

3 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	987