ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53294
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два одинаковых пересекающихся круга. Отношение расстояния между их центрами к радиусу равно 2m . Третий круг касается внешним образом первых двух и их общей касательной. Найдите отношение площади общей части первых двух кругов к площади третьего круга.

Решение

Пусть O1 , O2 — центры кругов, R — радиус, A и B — точки пересечения, C — точка пересечения отрезков O102 и AB . Тогда C — середина AB и O1O2 , и AB O1O2 .
По условию задачи O1O2 = 2mR . Тогда

O1C = mR, cos AO1C = cos α = = = m.

Поэтому
α = arccos m, SΔ AO1B = SΔ AO2B = O1A· O1B sin 2α =


= R2· 2 sin α cos α = R2m.

Вычитая из площади сектора AO1B площадь треугольника AO1B , получим, что
· 2α R2- R2m = R2( arccos m- m).

Следовательно, площадь общей части кругов равна
2R2( arccos m - m).


Пусть теперь x — радиус третьего круга, P — его точка касания с общей касательной MN к первым двум кругам ( M и N — точки касания с первым и вторым кругом). Тогда MN = O1O2 и MP = PN = 2 Поскольку MN = 2MP , то 2· 2 = 2Rm . Отсюда находим, что x = , а площадь третьего круга равна π x2 = π m4· . Следовательно, искомое отношение равно
.


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 989

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .