ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53297
Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан ромб с острым углом $ \alpha$. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?


Подсказка

Высота ромба равна диаметру вписанного в ромб круга.


Решение

Пусть сторона ромба ABCD равна a и $ \angle$BAC = $ \alpha$. Тогда площадь ромба равна a2sin$ \alpha$.

Из вершины тупого угла B опустим перпендикуляр BM на сторону AD. Тогда

BM = AB sin$\displaystyle \alpha$ = a sin$\displaystyle \alpha$.

Если r — радиус окружности вписанной в ромб, то

2r = BM = a sin$\displaystyle \alpha$.

Поэтому

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a sin$\displaystyle \alpha$

и площадь вписанного в ромб круга равна

$\displaystyle \pi$r2 = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ . a2sin2$\displaystyle \alpha$.

Следовательно, искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{\frac{\pi}{4}a^{2}\sin ^{2}\alpha}{a^{2}\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \pi$sin$\displaystyle \alpha$.


Ответ

$ {\frac{1}{4}}$$ \pi$sin$ \alpha$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 992

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .