Задача 53301

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть r₁, r₂, r₃ – радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что  r₁ + r₂ + r₃ = r.

Подсказка

Докажите, что сумма периметров маленьких треугольников равна периметру данного треугольника.

Решение

Периметр треугольника, отсекаемого прямой, параллельной стороне BC, равен сумме расстояний от точки A до точек касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами AB и AC. Поэтому сумма периметров маленьких треугольников равна периметру треугольника ABC, то есть  P₁ + P₁ + P₁ = P.  Из подобия треугольников следует, что  r₁ + r₂ + r₃ = r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	996
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.060