ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53343
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL – правильный.


Подсказка

Треугольники KCL, ADL, KBA равны.


Решение

  Первый способ. Обозначим  ∠BCD = α.  Рассмотрим случай, когда  α < 60°.  Поскольку  KC = BC = AD,  CL = LD,
KCL = ∠KCB + ∠BCD + ∠DCL = 60° + α + 60° = 120° + α,  ∠ADL = 360° – ∠ADC – ∠CDL = 360° – (180° – α) ‐ 60° = 120° + α,  то треугольники KCL и ADL равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  KL = AL.  Точно так же докажем, что  KL = AK. Аналогично для остальных случаев.

  Второй способ. При повороте на угол 60° векторы и переходят в векторы и   = .  Следовательно, при этом повороте вектор
= +   переходит в вектор   + = . Поэтому треугольник AKL – равносторонний.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1039

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .