Задача 53347

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры также образуют квадрат.

Решение

  Пусть O₁, O₂, O₃, O₄ – центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD. Заметим, что  ∠O₁AO₄ = ∠O₁BO₂.  Поэтому треугольник O₁AO₄ переходит в треугольник O₁BO₂ при повороте на 90° относительно точки O₁. Следовательно,  O₁O₄ = O₁O₂  и  O₁O₄ ⊥ O₁O₂.
  Аналогично доказываются равенство и перпендикулярность остальных пар сторон.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1043