Задача 53352

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите равенство треугольников по трём медианам.

Подсказка

Примените признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей.

Решение

  Пусть  AM = A₁M₁,  BN = B₁N₁,  CK = C₁K₁ – медианы треугольников ABC и A₁B₁C₁, а O и O₁ – их соответствующие точки пересечения. Тогда
AO = ²/₃ AM = ²/₃ A₁M₁ = A₁O₁,  CO = ²/₃ CK = ²/₃ C₁K₁ = C₁O₁,  ON = ¹/₃ BN = ¹/₃ B₁N₁ = O₁N₁.
  Треугольники AOC и A₁O₁C₁ равны по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей (см. задачу 53352). Поэтому  AC = A₁C₁.
  Аналогично доказывается равенство других сторон.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1048