Задача 53386

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении  2 : 5  (меньшая часть – при гипотенузе). Найдите этот угол.

Подсказка

Используйте свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Решение

Пусть M – середина гипотенузы AB, K – точка пересечения указанного перпендикуляра с катетом BC, 7α – искомый угол CAB. Тогда  ∠CBA = ∠KAB = 2α  (треугольник AKB – равнобедренный). Следовательно,  2α + 7α = 90° = 10°.

Ответ

70°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1114