Задача 53388

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₇. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

Подсказка

∠BDC = ^π/₂ + ½ ∠A.

Решение

Пусть  ∠A = α  – средний по величине угол треугольника ABC,  ∠C = α – ^π/₇,  ∠B = α + ^π/₇.  ∠B₁DC₁ = ^π/₂ + ^α/₂  (см. задачу 55448),
∠DB₁C₁ = ∠DC₁B₁ = ½ (π – ^π/₂ – ^α/₂) = ^π/₄ – ^α/₄.  Аналогично  ∠DA₁C₁ = ∠DC₁A₁ = ^π/₄ – ^α/₄ – ^π/₂₈,  ∠DA₁B₁ = ∠DB₁A₁ = ^π/₄ – ^α/₄ + ^π/₂₈.  Значит,
∠A₁ = ∠DA₁C₁ + ∠DA₁B₁ = ^π/₂ – ^α/₂,  ∠B₁ = ^π/₂ – ^α/₂ + ^π/₂₈,  ∠C₁ = ^π/₂ – ^α/₂ – ^π/₂₈.

Ответ

^π/₂₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1116