ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53388
Темы:    [ Углы между биссектрисами ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью π/7. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A1, B1, C1 находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A1, B1, C1 также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.


Подсказка

BDC = π/2 + ½ ∠A.


Решение

Пусть  ∠A = α  – средний по величине угол треугольника ABC,  ∠C = α – π/7,  ∠B = α + π/7.  ∠B1DC1 = π/2 + α/2  (см. задачу 55448),
DB1C1 = ∠DC1B1 = ½ (π – π/2α/2) = π/4α/4.  Аналогично  ∠DA1C1 = ∠DC1A1 = π/4α/4π/28,  ∠DA1B1 = ∠DB1A1 = π/4α/4 + π/28.  Значит,
A1 = ∠DA1C1 + ∠DA1B1 = π/2α/2,  ∠B1 = π/2α/2 + π/28,  ∠C1 = π/2α/2π/28.


Ответ

π/28.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1116

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .