Задача 53412
|
|
 |
Условие
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Подсказка
Точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех сторон треугольника.
Решение
Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, проведённых из вершин B и C. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла B, то она равноудалена от прямых AB и BC. В то же время точка O лежит на биссектрисе угла C, поэтому она равноудалена от прямых AC и BC. Значит, точка O равноудалена от прямых AB и AC. Так как она находится внутри треугольника ABC, то лежит и на биссектрисе угла A.
Замечания
Поскольку точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон, она является центром вписанной в треугольник окружности.
