Задача 53532

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Анджанс А.

В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.

Подсказка

Соедините указанные середины сторон с серединой третьей стороны четырёхугольника.

Решение

  Пусть M, N и K – середины сторон AB, CD и AD четырёхугольника ABCD, причём прямая MN образует равные углы с диагоналями.
  Поскольку MK и KN – средние линии треугольников ABD и ACD, то  ∠KMN = ∠KNM.  Поэтому треугольник MKN – равнобедренный,  KM = KN.  Следовательно,  AC = BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1261