Задача 53548

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные точке O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, а прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Подсказка

Примените свойство средней линии треугольника.

Решение

  Пусть M, N и K – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC. Тогда MK – средняя линия треугольников ABC и OA₁C₁. Следовательно,  A₁C₁ = 2MK = AC,  A₁C₁ || MK || AC.
  Аналогично,  B₁C₁ = BC,  B₁C₁ || BC,  A₁B₁ = AB,  A₁B₁ || AB.  Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам.

  Поскольку  AC = A₁C₁  и  AC || A₁C₁,  то четырёхугольник AC₁A₁C – параллелограмм. Поэтому его диагонали AA₁ и CC₁ делятся точкой P их пересечения пополам.
  Диагональ BB₁ параллелограмма CB₁C₁B проходит через середину P его второй диагонали CC₁. Следовательно, отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ проходят через точку P.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1278