|
|
 |
Условие
Диагонали трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке
O.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников AOD и BOC касаются друг друга.
Подсказка
Применив теорему, обратную теореме об угле между касательной и хордой, докажите, что касательная к одной из окружностей, проходящая через точку O, является также касательной к другой окружности.
Решение 1
Рассмотрим луч OK, пересекающий CD и такой, что
∠KOD = ∠AOD. Тогда прямая OK является касательной к описанной окружности треугольника AOD.
Поскольку ∠COK = ∠COD – ∠KOD = ∠BOA – ∠OAD = ∠BOA – ∠BCO = ∠CBO, то аналогично прямая OK касается
описанной окружности треугольника BOC.
Решение 2
При гомотетии с центром O и коэффициентом – AD/BC треугольник BOC переходит в треугольник DOA, описанная окружность треугольника BOC – в описанную окружность треугольника DOA, а так как центр гомотетии O – общая точка этих окружностей, то O – точка их касания.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1320 |
